La representación de las matemáticas

 

The mathematical’s representation

 

Stanislas Dehaene

 

 

En el artículo se presentan algunas investigaciones del autor sobre la relación existente entre el lenguaje y las matemáticas. Gran parte de su trabajo se centra en el campo de las representaciones utilizadas en uno de los conceptos básicos de las matemáticas: los números.

 

The article presents research conducted by the author on the relationship between language and mathematics. In particular, a significant part of his work focuses on the representations used in a basic mathematical concept: numbers.

 

Dominamos el lenguaje de los símbolos y, por tanto, podemos referirnos a los símbolos de las matemáticas, que se combinan entre sí formando un lenguaje. Pero ésta no es la parte más profunda de las matemáticas; si podemos manipularlas se debe a que disponemos de unos cimientos que lo facilitan: las representaciones no verbales.

¿Qué son las matemáticas? Quisiera establecer unas notas aportadas por algunos matemáticos en relación al concepto de las matemáticas. Albert Einstein, por ejemplo, apuntó la idea de que las matemáticas no requieren, en algunos aspectos, creación de lenguaje.

Las palabras en el lenguaje, tanto escritas como habladas, no se refieren únicamente a un proceso de las entidades psicológicas que se imponen ya que también podemos reproducir y recombinar el pensamiento y las imágenes. Los objetos de conceptos matemáticos no se representan en palabras sino en un formato más conceptual.

De forma muy limitada, existe una representación mental que va más allá de la palabra determinada. Estos puntos los subrayó el físico francés Poincaré, uno de los principales matemáticos del siglo xix. «Ha habido mucho proceso inconsciente en las matemáticas y lo más sorprendente es la aparición de una repentina iluminación, la manifestación inconsciente y el papel que representan las matemáticas, que es incontestable e irrefutable», afirmaba Poincaré. A escala de las matemáticas sencillas, tenemos acceso a una representación mental del número, aunque se trate de accesos semánticos bastante inconscientes. En este trabajo me referiré al sentido del número no verbal y al sentido de las cantidades que se representan en formato no verbal, e intentaré demostrar que existe, en esta representación, una relación entre la parte derecha, izquierda e interparietal del cerebro, que son los cimientos de la intuición numérica y que se presentan en un estadio muy temprano del desarrollo de la persona.

 

División del cerebro

 

Una de las cuestiones que desarrollaremos en este artículo es la digresión sobre la consciencia y sobre cómo podemos tener acceso a representaciones de manera inconsciente. Además, trataremos aspectos adicionales que se añaden al lenguaje de las matemáticas. Comenzamos con la cantidad no verbal representativa. En este sentido, debemos señalar que el lenguaje complementa la representación de una manera aproximada y recordar que estamos empezando a conocer algunas cosas sobre las interacciones de las representaciones verbales y no verbales de los números en el cerebro. También veremos cómo las lesiones cerebrales afectan a estas representaciones.

En nuestros estudios hemos observado la comparación con el número 65. Imaginemos que nos dan unos números, que deberán ser mayores o menores al que tomamos como referencia. Si hacemos este experimento durante un tiempo veremos que se produce una determinada condición psicofísica. La reacción que nos hace decidir por un determinado número responde a una función logarítmica de la distancia entre los números, ya que es más fácil saber cuándo el número está lejos, por ejemplo el 99, que cuándo está cerca. Esto significa que si miramos los propios números no hay nada en su forma que nos indique que están lejos. Esta distancia paramétrica, que es la que impulsa la reacción, no está presente en la forma superficial, sino que se reconstruye internamente en el cerebro del sujeto.

Los argumentos que quisiera presentar aquí están relacionados con la existencia de una conversión mental en esta área del cerebro que, de manera natural, empieza en la retina, cuando se visualiza el número. Automáticamente, se realiza una conversión mental de esta representación cuantitativa. El sujeto identifica el número y es capaz entonces de saber si es superior o inferior a la cifra presentada como referencia, en este caso el 65.

 

Imagen en el cerebro

 

Algunos investigadores consideran que las imágenes cerebrales tratan de localizar procesos en el cerebro. Pero esto no es únicamente así. Lo que interesa es poder ver el tipo de representaciones que tenemos. Utilizamos las imágenes cerebrales para ver la representación de formato y para ver lo que se está representando en una cifra binaria y no quedarnos sólo en la forma.

 

Especialización de las áreas del cerebro

Existen áreas cerebrales en las que aumenta el flujo de manera proporcional a las distancias semánticas comentadas anteriormente. Podemos ver que en las zonas de los círculos intraparietales la activación es bilateral. Estas regiones podrían estar relacionadas con la representación de la cantidad, que va asociada al número. La conducta muestra que los números están escritos en representación arábiga, en cifras o en letras. Por ejemplo, cuando se realiza el cambio de representación en letras, las palabras reaccionan más lentamente en esta distancia semántica ya que son más largas. Pero, independientemente de esta connotación, existe una distancia semántica, y los números que están más cerca son más fáciles de identificar, mientras que la identificación de los números más lejanos resulta más difícil.

Este efecto adicional muestra que la operación de la conversión funciona en ambos casos y que, al final, acaba con una representación cuantitativa, que es independiente de si se representan símbolos en palabras o en letras. Si analizamos el experimento y las imágenes cerebrales, podemos ver en el cerebro aquellas áreas en las que se refleja el efecto de la distancia semántica en los círculos intraparietales, el hemisferio izquierdo y el hemisferio derecho. Así pues, creemos que no se trata sólo del símbolo sino que va más allá. Se trata de las diferencias entre las cantidades, es decir, el significado que subyace a las cantidades.

 

Procesamiento del inconsciente

Con los datos obtenidos hasta la fecha se confirma la idea de Einstein según la cual tenemos unas representaciones no verbales en matemáticas. Hemos analizado esto con estudios de tipo subliminal. Utilizamos una pantalla de ordenador con un flash que muestra una secuencia de números y una serie de letras. Mostramos la serie de palabras y las representaciones de números seguidas de una cadena de letras y otra cifra arábiga durante un período de tiempo muy breve (49 segundos). Tras repetir esta operación más de una vez, el sujeto debe adivinar si el número oculto es superior o inferior a 5. Aunque parece una comparación muy sencilla, los sujetos no lograron adivinar el número porque no tenían suficiente información consciente.

Una de las conclusiones a las que llegamos tras realizar esta operación es que el número oculto se asocia al número de la palabra. Esto significa que el número se procesa inconscientemente y por eso se obtiene una respuesta determinada. Cuando aparece un número existe una reducción en el tiempo de respuesta. Esto sugiere que los sujetos comparan el número oculto que no pueden ver con el número de referencia 5. Miramos de nuevo la imagen cerebral y vemos que es el córtex motriz el que se activa.

Si analizamos la imagen cerebral y situamos los electrodos en la parte motriz derecha e izquierda del córtex, podremos recoger una señal sensible a la preparación. Con esto, obtendremos un índice en función del tiempo, que será más positivo a medida que el sujeto va preparando la respuesta con la parte derecha.

Se trata de una cadena sorprendente que hace que la reacción sea inconsciente y muy rápida. El estudio ha recibido algunas críticas, que consideran que puede existir una respuesta más sencilla. Algunos investigadores afirman, además, que es posible que no se pase por toda la cadena del proceso mental, sino que sencillamente se salte la cantidad y la comparación. Así, el formato del símbolo no es tan importante como el significado de la cantidad.

¿Qué distingue el procesamiento consciente del inconsciente referido a los números? En este tipo de comparación tenemos un proceso mental del que no somos conscientes. El dígito está en la retina y lo identificamos en las áreas temporales. A partir de aquí se desarrolla la representación cuantitativa en el surco parietal, que pasa después al córtex. Este proceso no tiene por qué ser consciente. En el estudio realizado con el doctor Lionel Naccache,1 llegamos a la conclusión de que se produce una activación muy encapsulada. Los resultados del estudio indicaron que cuando se lleva a cabo un esfuerzo, la única diferencia con el consciente es la amplificación en el córtex parietal; aunque también observamos activación adicional en el prefrontal izquierdo y derecho.

La idea es que estas conexiones en las regiones prefrontales son elementos importantes y cruciales del esfuerzo consciente. El proceso consciente es posible si existen otros que se activan automáticamente en forma de cadena y se pueden tener varias cadenas de procesadores activadas al mismo tiempo. La idea es que a este elevado nivel tenemos un grado de conectividad fuerte a larga distancia, lo que nos permite conectar procesos en la categorización conceptual, memoria a largo plazo, evaluación y procesos afectivos. La activación que llega a este nivel, donde hay movilización y comunicación intensa entre diferentes áreas, se corresponde con un estadio consciente.

Los tres elementos claves de este modelo son, en primer lugar, la idea de modularidad, tarea que implica la existencia de varias relaciones de forma inconsciente. Este proceso se da cuando existe un conjunto de procesadores interconectados especializados, que pueden realizar cada una de las operaciones. Por ejemplo en la comparación de números, cuando se genera una cadena de operaciones con identificación, cantidad, comparación y programación motora, que pueden realizar la tarea de forma inconsciente.

La segunda hipótesis es la aparente no modularidad de la mente consciente. Así, tenemos un sistema neuronal distribuido con actividad a larga distancia –espacio de trabajo consciente– que puede conectar múltiples procesos especializados de forma coordinada pero variable.

Y el otro elemento clave es la amplificación atencional y la movilización dinámica. En la medida que una información se hace consciente, si la población neuronal correspondiente, en lugar de comunicarse en cadena lo hace a través de una amplificación atencional (de arriba abajo), es lo que se llama estado de la actividad coherente que sucede a nivel neuronal. Estos procesadores sólo necesitan conexiones locales y no a largo plazo. Los mismos procesadores, por otra parte, deben tener un esquema de conectividad muy diferente al nivel más alto; son neuronas que pertenecen al espacio de trabajo y tienen que ser capaces de relacionarse con otros «vecinos», aunque no sean vecinos corticales. Es decir, tienen que tener una interconectividad a larga distancia.

 

Del acceso subliminal a la representación de las palabras

 

El reconocimiento y la producción de palabras habladas activan una pequeña área lateral izquierda. Esta área está implicada en la identificación visual y muestra el aspecto que tiene una letra, es decir, la representación. Llegados a este punto se plantean dos cuestiones: ¿podría ser que este proceso se activara de forma inconsciente? y ¿se podría movilizar si activamos la atención?

La transición de inconsciente a consciente se caracteriza por la amplificación de la actividad, que debe incluir las áreas frontales. Disponemos de una importante amplificación y también de conexión en las áreas distantes, que permiten que la información esté disponible rápidamente en los sistemas que informan sobre la presencia de la palabra. En nuestro trabajo comparamos entre consciencia e inconsciencia y obtuvimos diferencias mínimas, pero siempre observamos una activación focal que, en ocasiones, es intensa pero encapsulada en un encadenamiento de procesos que rompe la modularidad y que nos permite el acceso a la información.

 

La cantidad y su naturaleza

 

En relación al nivel de especificidad de la representación cuantitativa, sabemos que el lóbulo parietal participa en muchas tareas, la mayoría de las cuales influyen en el entorno en que nos movemos. Para estudiar el tema de la especificidad realizamos un trabajo con los mismos sujetos, y algunas de las cuestiones planteadas eran si podían llevar a cabo las mismas tareas numéricas y no numéricas y si había alguna especificidad en el lóbulo parietal.

Los resultados más significativos que obtuvimos mostraban una serie de activaciones en la pared parietal y en un área que sólo se activó durante el cálculo y no durante las otras tareas. Es interesante destacar que existe superposición entre cálculo y lenguaje. Y también observamos que el sistema de áreas en tareas de cálculo y lenguaje tiene una subespecialización; hay un componente muy especializado de alto nivel.

Respecto a la naturaleza de la representación numérica, nos planteamos si ésta es innata o no. En este sentido nos encontramos con algo muy intrigante: todos activamos las mismas áreas del cerebro. Estudios realizados en otros países demuestran que la lesión en un área conduce a la acalculia, situación por la que, según los neurólogos, el paciente no puede calcular. Pero algunos trabajos de ámbito internacional demuestran que los pacientes no sólo están limitados en el cálculo, sino también en la comparación numérica o en la operación.

Existen casos de acalculia también en niños, que son incapaces de aprender las cifras en la escuela. En estos casos existe una anormalidad metabólica en la región izquierda y en la parietal que sugiere, incluso en la niñez, que si el córtex izquierdo está desorganizado podemos perder el sentido numérico, lo que demuestra que se trata de una área imprescindible. Podríamos decir que esta área ya está organizada o predeterminada en su estado inicial y nos permite adquirir la función aritmética en el estado adulto.

En algunos trabajos empleamos la técnica de relación de diferentes actividades en niños de cuatro años, técnica basada en la aplicación de electrodos con amplificación de la señal electrónica. Así, se presentaban a los niños una serie de números en imágenes para comprobar si el niño observaba cifras diferentes. Comprobamos que existen estímulos potenciales que diferencian unas cifras de otras. Algo similar se realizó en el caso de las palabras, pero en este caso con sílabas, y observamos que el cerebro también responde a la novedad. Se trata de la evidencia más fuerte en este sistema supramodal abstracto. Averiguamos que hay una respuesta precoz en la que existe divergencia en la región frontal, es decir, el sistema auditivo espera un tono determinado que no le llega. En todos estos casos hay una respuesta de novedad a la cifra que se presenta como nueva, por lo que tenemos una activación en forma de negatividad a la izquierda y derecha en la región parietal.

Cuando estudiamos estos potenciales de registro en los adultos, cuyas regiones son parecidas a las de los niños, observamos que hay negatividad en las regiones occipitoparietal derecha o izquierda. En todos estos casos tenemos una respuesta de novedad a la cifra que cambia, es decir, tenemos una activación en forma de negatividad a la derecha e izquierda de la región parietal. Se trata de un sistema abstracto crossmodal que se preocupa no por la especificidad de los parámetros presentados sino por el hecho de que sea una actividad igual o diferente.

 

La función del lenguaje y los símbolos numéricos

 

Hemos intentado describir qué sucede cuando aprendemos los símbolos a partir de una representación cuantitativa. Quisiera argumentar que esta representación no verbal es bastante imprecisa. Lo que en realidad se están representando son unas cifras aproximadas. Podemos distinguir 1 frente a 2, 2 frente a 3, pero quizás no 3 frente a 4, o 4 frente a 5. En estos casos, lo que podemos hacer es una distinción aproximada de 4 frente a 8 o de 8 frente a 16. Utilizando estas representaciones obtenemos un cálculo eficaz a través del almacenamiento de los hechos exactos que se basan en el lenguaje.

Éste es un aspecto que el lenguaje aporta a los cálculos aritméticos, lo que denominamos modelo de triple codificación del procesado de números. Esta representación cuantitativa, que todos poseemos, tiene acceso a dos representaciones de un número: la forma verbal o el código verbal, basado en el área del lenguaje, y el código del formato visual o la palabra escrita. En cualquiera de los casos tenemos un constante ir y venir en el cerebro del adulto entre la magnitud de palabras y de formas visuales de estos símbolos / cifras. Utilizamos diferentes códigos para las diferentes funciones y, en particular, usamos la representación de la magnitud cuando tenemos que comparar dos cifras y decidir cuál es la que más se aproxima o se aleja. Es decir, lo que hacemos es una aproximación.

La argumentación es que empleamos el código verbal en situaciones en las que tenemos que hacer cálculos exactos y, especialmente, cuando utilizamos tablas aritméticas, por ejemplo cuando sabemos que 9 x 3 es igual a 27. Para llegar aquí hemos realizado un contraste sencillo entre cálculo exacto y experimental. Por ejemplo, en el caso de la suma de 4 + 5 nos ofrecen la opción entre 9 o el 7. Éste es un modelo de cálculo exacto porque el elemento de distracción es el número 7, bastante próximo al 9. Con la misma operación, pero en la opción de 8 y 3, se rechaza de forma inmediata el 3 porque está lejos de la realidad. Esto demuestra que es suficiente crear una situación de aproximación en la que se hace un cálculo en base al sentido de la cantidad. En algunos de nuestros trabajos de investigación, cuando visualizamos esta tarea en el escáner, vemos que se activan circuitos muy diferentes en los casos de aproximación y de cálculo exacto.

Los flujos interparietales en la parte intermedia se activan mucho más cuando los sujetos hacen un cálculo aproximado, cuantitativo. En la misma zona, y solapándose, se genera una activación al cálculo exacto, que se activa conjuntamente con el cálculo y el lenguaje. Ésta es un área en la que se supone un acceso a un código lingüístico, que es muy útil para el cálculo exacto pero no para el aproximado. Únicamente existen dos tipos diferentes de cálculo que activan diferentes respuestas. Los dos circuitos colaboran, actúan a la vez, por lo que podemos afirmar que no se trata de circuitos disociados. Es de suponer que la mayoría del tiempo, cuando se piensa en números, los dos sistemas están coactivados. La idea es la colaboración del sistema verbal con el sistema semántico y en algunos de nuestros estudios se demuestra que en cálculos de cifras superiores, el sistema cuantitativo está presente y se activa en paralelo con el sistema del lenguaje.

 

Lesiones cerebrales

 

Hemos realizado pruebas de cálculo en un paciente con una lesión cerebral al que le enseñamos la operación de restar 4 – 2 en cifras. Le pedimos que nos leyera el problema matemático y que nos diera la solución. Tenía problemas para leer los números (leyó 4 – 3), pensó la solución y dijo 2. Le mostramos la resta 8 – 7, que leyó como 6 – 4, pero nos dio como respuesta el 1. Le mostramos otras restas de la misma naturaleza, ya que el patrón de la lectura es muy importante, y repetía el mismo error de forma reiterada. Esta operación nos demuestra que el paciente no tiene acceso a las etiquetas y palabras del problema pero, en cambio, sí tiene acceso a la solución, que incluso puede expresar en letras.

Su lesión clásica es la alexia, que incapacita para leer palabras o cifras de dos dígitos. El sistema verbal funciona bien pero hay una destrucción en el acceso. El paciente no dispone del sistema que le permite identificar las palabras, por lo que no puede llegar a leerlas. Pero con las cifras vemos que es el hemisferio derecho el que las identifica y en este tipo de lesión no puede leer las cifras pero identifica la representación cuantitativa en el hemisferio derecho y la transmite al otro hemisferio. Este hecho no ocurre cuando se realizan otras operaciones matemáticas como restas o multiplicaciones.

 

Conclusión

 

Disponemos de estos sistemas en el cerebro y no somos conscientes de la interacción que existe entre los tres códigos o partes. Únicamente somos conscientes de las disociaciones cuando existe una lesión que altera todo el sistema y por la que el flujo de información se ve modificado. La conclusión a la que quisiera llegar con estos casos experimentales es que el sistema de matemáticas es una especie de patchwork en el que existe una interacción en el cerebro que complementa unos aspectos con otros. Sería imposible para un animal sin lenguaje llegar a este tipo de conclusión. Una operación de multiplicación es posible porque tenemos símbolos para acceder a unos significados precisos de cantidades.

Entre algunas reflexiones finales me gustaría anotar que los cimientos de las matemáticas se basan en el análisis final en base a unas intuiciones de espacio, tiempo y número. Si miramos, como haremos en el futuro, cuáles son los conceptos de espacio y tiempo, veremos que hay una organización similar con representaciones no verbales que dan apoyo a estos cimientos matemáticos. Todo esto se sigue en unos circuitos cerebrales muy especializados que se hallan en estadios prematuros del ser humano. El lenguaje complementa estos circuitos no verbales, que permite referirnos a unos conceptos precisos, discretos. Es lo que hacemos cuando generamos una manipulación de conceptos matemáticos.

Y, por último, destacar que el énfasis en la base cerebral de las matemáticas no implica una forma ingenua de reducción, sino que las capacidades del adulto y todo lo que se refiere a la activación cerebral es el resultado tanto de una arquitectura innata como de una educación. No se trata de oponer el cerebro a la educación, lo que estamos viendo es el resultado de ambas limitaciones arquitecturales. El resultado de la educación permite una conexión entre ambas representaciones.

En este sentido, no creo que tengamos que actuar de forma pasiva cuando vemos este tipo de problemas. Algunos investigadores creen que al hablar del cerebro estamos hablando de una biología rígida que nos limita a los adultos, pero los límites del cerebro no están claros. Hay mucha plasticidad en el cerebro y queda la esperanza de que, con una mejor comprensión del desarrollo neurológico, podamos desarrollar mejoras estratégicas de rehabilitación para estas lesiones. Si entendemos los pasos y conexiones podremos alcanzar otros pasos y conexiones que compensen estas disfunciones.

 

Bibliografía

 

1 Dehaene, S.; Naccache, L.; Cohen, L.; Le Bihan, D.; Mangin, J.-F.; Poline, J.-B.; Riviere, D. : «Cerebral mechanisms of word masking and unconscious repetition priming», Neuroscience (Nature) 2001; 4, nº 7 (julio).

 

 

Stanislas Dehaene

 

Stanislas Dehaene es investigador del Institut National de la Santé et de la Recherche Medicale (INSERM), en París, y ha realizado estudios de cognición neuropsicológica del lenguaje y los números como procesos del cerebro humano. Su trabajo se ha centrado en las bases neurofisiológicas y psicológicas de la conciencia y, en particular, en la representación consciente del número. Es autor, entre otras publicaciones, de The number sense: how mathematical knowledge is embedded in our brains.

dehaene@shfj.cea.fr